قانون سینوس‌ها

قانون سینوس‌ها

در مثلثات، قانون سینوس‌ها معادله‌ای است که میان طول ضلع هر مثلث دلخواه و زاویهٔ مقابل آن ضلع رابطه برقرار می‌کند؛ این قانون عبارت است از:

قانون سینوس‌ها

 \frac{a}{\sin (\alpha)} = \frac{b}{\sin (\beta)} = \frac{c}{\sin (\gamma)}

که a و b و c به ترتیب ضلع‌های مثلث و

قانون سینوس‌ها

\alpha و

قانون سینوس‌ها

\beta و

قانون سینوس‌ها

\gamma به ترتیب زاویه‌های مقابل به هر ضلع اند. هنگامی که دو زاویه و یک ضلع مثلث را داشته باشیم از قانون سینوس‌ها استفاده می‌کنیم تا طول ضلع‌های دیگر مثلث را بدست آوریم.

قانون سینوس‌ها

یک مثلث دلخواه

پیشینه :

قانون کروی سینوس‌ها در قرن ۱۰ میلادی کشف شد. این قانون را بیشتر به ابومحمود حامدبن خضر خجندی، ابوالوفای بوزجانی، خواجه نصیر طوسی و ابونصر منصور نسبت می‌دهند.

الجیانی در قرن ۱۱ میلادی کتابی نوشت با عنوان «کتاب کمان‌های ناشناخته در کره» (به انگلیسی: The book of unknown arcs of a sphere)‏ و در آن به معرفی کلی قانون سینوس‌ها پرداخت. پس از او در قرن ۱۳ میلادی خواجه نصیر الدین طوسی به بیان این قانون میان صفحه‌ها پرداخت. او در کتابی با عنوان انگلیسی On the Sector Figure قانون سینوس‌ها را برای صفحه‌ها و مثلث‌های کروی بیان کرد و برای قانونش اثبات‌هایی را ارائه کرد.

نمونه :

در ادامه روش استفاده از قانون سینوس‌ها برای حل یک مسئله گفته شده‌است.

نمونه

اگر فرض کنیم: ضلع‌های a = ۴۰ و c = ۴۸ و زاویهٔ C = ۴۰° باشد، با استفاده از قانون سینوس‌ها می‌توان نتیجه گرفت که:

قانون سینوس‌ها

\frac{\sin A}{20} = \frac{\sin 40^\circ}{24}.

قانون سینوس‌ها

 A = \arcsin\left(\frac{20\sin 40^\circ}{24} \right) \cong 32.39^\circ.

رابطه با دایرهٔ محیطی مثلث :

اگر داشته باشیم:

قانون سینوس‌ها

\,\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = \frac{abc}{2 S} = 2R,

مقدار تک تک کسرهایی که در قانون سینوس‌ها نوشته می‌شود برابر است با قطر دایرهٔ محیطی مثلث می‌توان نشان داد که این مقدار خود برابر است با:

\begin{align}
\frac{abc} {2S} & {} = \frac{abc} {2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} \\[6pt]
& {} = \frac {2abc} {\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}},
\end{align}

که در آن S مساحت مثلث است و p برابر با نصف محیط

قانون سینوس‌ها

p = \frac{a+b+c} {2} می‌باشد. همچنین رابطهٔ

قانون سینوس‌ها

S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} فرمول هرون بود که از آن در بالا استفاده شد.

حالت مبهم برای مثلث

وقتی از قانون سینوس‌ها استفاده می‌کنیم تا زاویه‌های یک مثلث را بدست آوریم، حالت‌هایی وجود دارند که ابهام برانگیزند و ما به جای یک جواب به دو جواب (دو مثلث) می‌رسیم.

قانون سینوس‌ها

Sine Law - Ambiguous Case.svg
اگر ABC یک مثلث دلخواه باشد اگر شرایط زیر اتفاق افتد:

  • اطلاعات ما دربارهٔ مثلث تنها زاویهٔ A و ضلع‌های a و b باشد.
  • زاویهٔ A یک زاویهٔ تند باشد (کوچکتر از ۹۰ درجه).
  • ضلع a کوچکتر از ضلع b باشد (a < b).
  • ضلع a بزرگتر از ارتفاع مثلث راست‌گوشه با زاویهٔ A و وتر b باشد (a > b sin A).

اگر تمام شرط‌های بالا برقرار باشد، بسته به اینکه زاویهٔ B تند است یا باز، یکی از جواب‌های بدست آمده درست خواهد بود.

قانون سینوس‌ها

B = \arcsin {b \sin A \over a}

یا

قانون سینوس‌ها

B= 180^\circ - \arcsin {b \sin A \over a}

حالت کلی در فضای اقلیدوسی :

چهاروجهی A۱A۲A۳A۴ را در فضای اقلیدوسی در نظر بگیرید. در شکل مقابل اطلاعات مربوط به زاویه‌ها و ضلع مقابل به هر گوشه نشان داده شده‌است:

قانون سینوس‌ها

گوشه‌ها و ضلع‌های چهاروجهی.

  • قانون سینوس‌ها

    \,\mathrm S_k ضلع مقابل به گوشهٔ

    قانون سینوس‌ها

    \,\mathrm A_k.
  • قانون سینوس‌ها

    \,\Delta_k صفحه‌ای که

    قانون سینوس‌ها

    \,\mathrm S_k بر روی آن قرار دارد.
  • قانون سینوس‌ها

    \,\theta_{ij} زاویهٔ میان دو سطح

    قانون سینوس‌ها

    \widehat{(\Delta_i, \Delta_j)}.


سینوس زاویهٔ دو سطحی که بوسیلهٔ گوشهٔ A۱ بوجود آمده به روش زیر بدست می‌آید:

  • قانون سینوس‌ها

    \sin A_1 = \frac{\sqrt{1-\cos^2\theta_{23}-\cos^2\theta_{24}-\cos^2\theta_{34}-2\cos\theta_{23}\cos\theta_{24}\cos\theta_{34}}}{\sin\theta_{23}\sin\theta_{24}\sin\theta_{34}} ;

برای دیگر زاویه‌ها هم به روش بالا بدست می‌آید. بنابراین:

قانون سینوس‌ها

 \frac{S_1}{\sin A_1} = \frac{S_2}{\sin A_2} = \frac{S_3}{\sin A_3} = \frac{S_4}{\sin A_4} = \frac{2S_1S_2S_3S_4}{9V},

که در آن V حجم چهاروجهی است.

حالت کلی قانون سینوس‌ها در هندسهٔ نااقلیدوسی

قانون سینوس‌ها

مثلث کروی با ضلع‌های کاهش یافتهٔ a و b و c و زاویه‌های α و β و γ.

برای صفحه‌ای در هندسهٔ نااقلیدوسی با انحنای K و شعاع انحنای ρ، خواهیم داشت که:

قانون سینوس‌ها

\,\rho = 1/\sqrt{|K|}.

حال ابعاد کاهش یافتهٔ مثلث از رابطه‌های زیر بدست می‌آید:

قانون سینوس‌ها

\,a = BC/\rho,

قانون سینوس‌ها

\,b = AC/\rho,

قانون سینوس‌ها

\,c = AB/\rho.

در حالتی که یک مثلث کروی داشته باشیم، اندازهٔ a و b و c برابر است با اندازهٔ زاویهٔ مقابل به کمان‌های بزرگ [BC] و [AC] و [AB] (شکل روبرو).

هندسهٔ کروی

در یک مثلث کروی مانند ABC با شعاع ρ که بر روی کره‌ای با مرکز O کشیده شده‌است، قانون سینوس‌ها به صورت زیر نوشته می‌شود:

قانون سینوس‌ها

\frac{\sin a}{\sin\alpha} = \frac{\sin b}{\sin\beta} = \frac{\sin c}{\sin\gamma} = \frac{6 V_{\mathrm{OABC}}}{\rho^3\sin a\,\sin b\,\sin c} ,

که در آن VOABC حجم چهاروجهی OABC است و α و β و γ سه زاویهٔ تشکیل شده در مرکز کره‌اند

هندسهٔ هذلولوی

در هندسهٔ هذلولوی هنگامی که انحنا ۱- باشد، قانون سینوس‌ها به صورت زیر نوشته می‌شود:

قانون سینوس‌ها

\frac{\sinh a}{\sin\alpha} = \frac{\sinh b}{\sin\beta} = \frac{\sinh c}{\sin\gamma}.

در حالت ویژه‌ای که زاویهٔ

قانون سینوس‌ها

\beta راست‌گوشه (۹۰ درجه) باشد، خواهیم داشت:

قانون سینوس‌ها

\sin \gamma = \frac{\sinh c}{\sinh b} \,

قانون سینوس‌ها

کلمات کلیدی : قانون,سینوس‌ها,قانون سینوس‌ها , مقالات علمي , امنیت، فناوری اطلاعات It، نانو، صنایع هوافضا، غذایی، فیزیک قانون+سینوس‌ها+

تاریخ: شنبه 2013/07/20
برترین مطالب امروز
مطالب مرتبط
ترفند
اس ام اس

ابر برچسبها